Большая Энциклопедия Нефти и Газа. Фильтр винер


5.2. Фильтр Винера

Фильтр Винера использует оптимальный критерий в виде минимизации среднеквадратичного отклонения между фильтрованным изображением и истинным объектным изображениемf(i,j). В частотном домене фильтр Винера имеет вид [10]:

(5.18)

где |N(u,v)|2 и |F(u,v)|2 – спектр мощности щума n(i,j) и объекта f(i,j) (см. уравнение 5.13).

Первый член в правой части уравнения (5.18) есть обратный фильтр, который доминирует на низких частотах, второй член обладает эффектом низкочастотной фильтрации, которая управляется отношением мощности спектра шума к мощности спектра объекта. Это отношение определяет, когда фильтр Винера переключается с восстановления изображения от эффекта разрешения (обратный фильтр) к подавлению шума. Член MTF в фильтре Винера предполагается стационарной функцией (т.е. инвариантной относительно положения источника и геометрии объекта), поэтому он измеряется на средней глубине.

Так как спектр мощности шума и объекта заранее не известны, то следует использовать их оценки. В работе [10] описывается методика оценки этих функций из измеренных сцинтиграмм. Основываясь на модели шума [7], спектр мощности считается независимым от частоты и равным полному числу отсчетов изображения. Оценка объектного спектра мощности проводится в следующей последовательности. Первое, спектр мощности двумерного изображения сжимается в одномерный путем усреднения по кольцевым областям в частотном прстранстве. Спектр мощности на низких частотах оценивается как разность между спектром мощности изображения и оцененным спектром мощности шума и последующим делением на среднее MTF. На высоких частотах объектный спектр мощности оценивается с помощью метода подгонки кривых, используя моель степенного закона [10]. После определения этих величин генерируется двумерная ротационно-симметричная версия фильтра и применяется к изображению. На рис. 5.16 проводится сравнение изображений костного скелета после разных видов процессинга.

Рис. 5.16. Клинические изображения костного скелета, получающиеся после разных видов фильтрации: верх слева – без фильтрации; верх справа – фильтр Баттеруорта четвертого порядка с пороговой частотой 0,4; низ слева – фильтр Метца; низ справа – фильтр Винера [4]

Контрольные вопросы

  1. Опишите структуру цифрового изображения гамма-камеры.

  2. Какие факторы влияют на размер пикселя изображения?

  3. В чем отличия фреймового способа запоминания данных от листингового и байт-моды от слово-моды?

  4. Что такое формат DICOM и для чего он применяется?

  5. Какие задачи выполняет PACS?

  6. Назовите физические факторы, влияющие на качество изображения и на пространственное разрешение гамма-камеры.

  7. На какие параметры изображения влияет комптоновское рассеяние фотонов?

  8. Почему возникает шум в изображении?

  9. Как определяется информационная плотность (ID) изображения?

  10. Что такое контраст изображения и какая его величина требуется для визуального обнаружения патологических очагов в организме пациента?

  11. С какой целью и каким образом производится преобразование изображения в частотное пространство?

  12. Как создается выборочная версия непрерывной функции?

  13. Какой критерий должен выполняться, чтобы непрерывная функция однозначно определялась из N выборочных значений?

  14. Опишите математическую модель процесса визуализации.

  15. С какой целью проводится фильтрация изображения.

  16. На какие группы подразделяются фильтры?

  17. Для чего применяются низкочастотные фильтры?

  18. С какой целью применяется восстановительная фильтрация?

  19. Как зависит пороговая частота восстановительного фильтра от уровня шума?

  20. Охарактеризуйте особенности фильтров Винера и Метца.

studfiles.net

Фильтр - винер - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Фильтр - винер

Cтраница 1

Фильтр Винера оптимален для стационарных сигналов с гауссовским распределением.  [1]

При получении фильтра Винера предполагалось, что оценка получается на основе наблюдения на бесконечном отрезке времени, что является ограничительным условием применительно к задачам управления.  [2]

В качестве фильтров целесообразно взять фильтры Винера.  [3]

Сравним полученную оптимальную систему ( фильтр Винера) с оптимальной системой, имеющей заданную структуру в виде интегрирующего звена, охваченного единичной отрицательной обратной связью, при условии, что на их входы подаются одинаковые полезный сигнал и помеха.  [4]

Таким образом, Wi ( s) есть передаточная функция фильтра Винера, когда входной сигнал является белым шумом с единичной интенсивностью.  [6]

Линейная система, которая получается в результате решения этой задачи, называется фильтром Винера или оптимальным фильтром Винера.  [7]

Систему управления с весовой функцией, найденной на основе уравнения Винера-Хопфа, часто называют фильтром Винера. Основная трудность решения этого уравнения состоит в том, что весовая функция w ( f) должна удовлетворять условию физической реализуемости.  [8]

На рис. 3.49 ( а) показан полученный образ мины до обработки изображения, а на рис. 3.49 ( б) - после использования фильтра Винера. Эта волна отражается на границах между материалами с различными акустическими свойствами.  [10]

Формула (5.25) имеет очень важное значение, и сфера ее использования далеко не ограничивается расчетом коэффициентов линейного предсказания, Рассматривая нашу частную задачу, мы получили формулу оптимальною фильтра Винера, который позволяет сделать входной сигнал максимально близким ( в смысле среднеквадратической ошибки) к заданному образцу.  [11]

Перед выполнением заданий надо изучить положения: задачи фильтрации; критерии, используемые при фильтрации; требования, предъявляемые к аппаратуре оперативного спектрального анализа сигналов; гауссовость случайных процессов и фильтрация; фильтры Винера - Колмогорова, методы решения уравнения Винера - Хопфа для случая стационарных и нестационарных сигналов; фильтры Калмана - Бьюси ( сраните с фильтрами Винера - Колмогорова) и их структурные схемы; уравнение Риккати; согласованные фильтры.  [12]

Перед выполнением заданий надо изучить положения: задачи фильтрации; критерии, используемые при фильтрации; требования, предъявляемые к аппаратуре оперативного спектрального анализа сигналов; гауссовость случайных процессов и фильтрация; фильтры Винера - Колмогорова, методы решения уравнения Винера - Хопфа для случая стационарных и нестационарных сигналов; фильтры Калмана - Бьюси ( сраните с фильтрами Винера - Колмогорова) и их структурные схемы; уравнение Риккати; согласованные фильтры.  [13]

Техническая реализация оптимальных линейных фильтров для непрерывных входных сигналов ( аналоговых фильтров) связана с преодолением значительных трудностей. Для фильтра Винера Хопфа, описываемого уравнением (8.30), основной трудностью является реализация аналоговой памяти с большой емкостью. Для фильтра Калмана-Бьюси, описываемого уравнением (8.38), основной проблемой является реализация аналоговых перемножителей с переменными параметрами. Все это приводит к тому, что в аналоговой линейной фильтрации используются в основном фильтры Баттерворта [ 61 и подобные им фильтры на простых RC-цепочках и операционных усилителях, которые и могут успешно конкурировать с оптимальными фильтрами при удачно выбранной частоте среза.  [15]

Страницы:      1    2

www.ngpedia.ru

Цифровые фильтры Винера при обработке изображений.

Груздев А. А. группа 4676

 

Обычно изображения, сформированные различными информационными системами, искажаются действием помех. Это затрудняет как их визуальный анализ человеком-оператором, так и автоматическую обработку в ЭВМ. При решении некоторых задач обработки изображений в роли помех могут выступать и те или иные компоненты самого изображения. Например, при анализе космического снимка земной поверхности может стоять задача определения границ между ее отдельными участками - лесом и полем, водой и сушей и т.п. С точки зрения этой задачи отдельные детали изображения внутри разделяемых областей являются помехой.

Ослабление действия помех достигается фильтрацией. При фильтрации яркость (сигнал) каждой точки исходного изображения, искаженного помехой, заменяется некоторым другим значением яркости, которое признается в наименьшей степени искаженным помехой. Изображение часто представляет собой двумерную функцию пространственных координат, которая изменяется по этим координатам медленнее (иногда значительно медленнее), чем помеха, также являющаяся двумерной функцией. Это позволяет при оценке полезного сигнала в каждой точке кадра принять во внимание некоторое множество соседних точек, воспользовавшись определенной похожестью сигнала в этих точках. В других случаях, наоборот, признаком полезного сигнала являются резкие перепады яркости. Однако, как правило, частота этих перепадов относительно невелика, так что на значительных промежутках между ними сигнал либо постоянен, либо изменяется медленно. И в этом случае свойства сигнала проявляются при наблюдении его не только в локальной точке, но и при анализе ее окрестности. Понятие окрестности является достаточно условным. Она может быть образована лишь ближайшими по кадру соседями, но могут быть окрестности, содержащие достаточно много и достаточно сильно удаленных точек кадра. В этом последнем случае, конечно, степень влияния далеких и близких точек на решения, принимаемые фильтром в данной точке кадра, будет совершенно различной.

Таким образом, идеология фильтрации основывается на рациональном использовании данных как из рабочей точки, так и из ее окрестности. В этом проявляется существенное отличие фильтрации от рассмотренных выше поэлементных процедур: фильтрация не может быть поэлементной процедурой обработки изображений.

Задача заключается в том, чтобы найти такую рациональную вычислительную процедуру, которая позволяла бы достигать наилучших результатов. Общепринято при решении этой задачи опираться на использование вероятностных моделей изображения и помехи, а также на применение статистических критериев оптимальности. Причины этого понятны это случайный характер как информационного сигнала, так и помехи и это стремление получить минимальное в среднем отличие результата обработки от идеального сигнала. Многообразие методов и алгоритмов связано с большим разнообразием сюжетов, которые приходится описывать различными математическими моделями. Кроме того, применяются различные критерии оптимальности, что также ведет к разнообразию методов фильтрации. Наконец, даже при совпадении моделей и критериев очень часто из-за математических трудностей не удается найти оптимальную процедуру. Сложность нахождения точных решений порождает различные варианты приближенных методов и процедур.

 

Общая структура адаптивного фильтра показана на рисунке. Входной дискретный сигнал x(k) обрабатывается дискретным фильтром, в результате чего получается выходной сиг нал y(k). Этот выходной сигнал сравнивается с образцовым сигналом d(k), разность между ними образует сигнал ошибки e(k). Задача адаптивного фильтра — минимизировать ошибку воспроизведения образцового сигнала. С этой целью блок адаптации после обработки каждого отсчета анализирует сигнал ошибки и дополнительные данные, поступающие из фильтра, используя результаты этого анализа для подстройки параметров коэффициентов фильтра.

 

 

 

При синтезе фильтра Винера учитывается информация о спектральной плотности мощности изображения и шума. Поэтому он менее подвержен влиянию помех и нулей передаточной функции искажающей системы. Частотная характеристика фильтра Винера:

где - спектральные плотности мощности периодически продолженных шума, наблюдаемого и исходного изображений, - взаимная спектральная плотность мощности исходного и наблюдаемого изображений, * - символ комплексного сопряжения.

Преобразуем передаточную функцию фильтра Винера:

1. При отсутствии шума фильтр Винера переходит в инверсный фильтр. Следовательно, в области низких частот, где, как правило, отношение сигнал/шум велико передаточные функции этих фильтров практически совпадают.

2. При уменьшении спектральной плотности мощности исходного изображения передаточная функция фильтра Винера стремится к 0. Для изображения это характерно на высоких частотах.

3. На частотах, соответствующих нулям передаточной функции формирующей системы, передаточная функция фильтра Винера также равна 0.

Основным недостатком фильтра Винера остается наличие краевых эффектов, проявляющихся в виде осциллирующей помехи (ряби или полос).

Ниже приведены одномерные сечения типичных передаточных функций винеровских фильтров (сплошная линия). Здесь же для сравнения приведены сечения передаточных функций инверсных фильтров и, которые обозначены штриховой линией.

Рис. 1 Частотные характеристики фильтра Винера при цилиндрической и гауссовской ФРТ

Рассмотрим результаты моделирования винеровского алгоритма восстановления. На рис. 2.а и 4.а приведены результаты искажения изображений «Сатурн» и «Часы» сверткой с гауссовской ФРТ ( ) с последующим «обрезанием» краев и добавлением аддитивного дельта-коррелированного шума ( ). На рис. 3.а и 5.б приведены изображения, полученные в результате смаза ( ) изображений «Сатурн» и «Часы» ( ) также с последующим «обрезанием» краев и добавлением аддитивного дельта-коррелированного шума ( ).

Размеры всех наблюдаемых и восстановленных изображений равны 170х170 элементов. Результаты восстановления винеровским фильтром изображения «Сатурн» (рис. 2.б и рис. 3.б) свидетельствуют о том, что фильтр Винера значительно лучше подавляет шумы. Осциллирующая помеха на результатах восстановления изображения «Часы» (рис. 4.б и рис. 5.в) вызвана краевыми эффектами. Ее уровень существенно меньше, чем при инверсной фильтрации. Однако винеровский фильтр лишь частично компенсирует краевые эффекты, которые делают качество восстановления неудовлетворительным.

 

Таким образом, за счет использования информации о спектральных характеристиках изображения и шума, фильтр Винера обладает относительно высокой помехоустойчивостью и у него отсутствует сингулярность, обусловленная нулями передаточной функции формирующей системы. Основным недостатком фильтра Винера остается наличие краевых эффектов, которые проявляются в виде осциллирующей помехи, маскирующей восстановленное изображение.

stydopedia.ru

Фильтр Винера Википедия

Винеровское оценивание — задача нахождения импульсной характеристики линейной стационарной системы, которая минимизирует среднюю квадратическую ошибку между реальным y(t) и желаемым d(t) выходными сигналами при бесконечном времени наблюдения. На вход системы подается сигнал f(t), выходной сигнал определяется выражением y(t)=∫−∞+∞w(τ)f(t−τ)dτ{\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }w(\tau )f(t-\tau )d\tau }.

Условия

Предполагается, что условия применения, характер сигналов и помех остаются достаточно стабильными, их статистические характеристики меняются мало. Если же условия переменны и помехи в процессе работы систем изменяются существенно, то возникает необходимость автоматической оптимизации параметров систем. Это осуществляется в различного рода экстремальных, адаптивных, обучаемых системах.

Решение задачи

Ошибка системы равна разности между желаемым и реальным выходными сигналами e(t)=d(t)−y(t){\displaystyle e(t)=d(t)-y(t)}. Минимальная среднеквадратическая ошибка по определению равна:

η=e2¯=d2¯−2dy¯+y2¯{\displaystyle \eta ={\overline {e^{2}}}={\overline {d^{2}}}-2\,{\overline {d\,y}}+{\overline {y^{2}}}} =

d2¯−2∫−∞+∞w(τ)f(t−τ)d(t)¯dτ+∫−∞+∞∫−∞+∞w(ξ)w(μ)f(t−ξ)f(t−μ)¯dξdμ{\displaystyle {\overline {d^{2}}}-2\int _{-\infty }^{+\infty }w(\tau ){\overline {f(t-\tau )d(t)}}\,\mathrm {d} \tau +\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }w(\xi )w(\mu ){\overline {f(t-\xi )f(t-\mu )}}\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} \mu } =

d2¯−2∫−∞+∞w(τ)ρfd(τ)dτ+∫−∞+∞∫−∞+∞w(ξ)w(μ)ρff(ξ−μ)dξdμ{\displaystyle {\overline {d^{2}}}-2\int _{-\infty }^{+\infty }w(\tau )\rho _{fd}(\tau )\mathrm {d} \tau +\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }w(\xi )w(\mu )\rho _{ff}(\xi -\mu )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} \mu }.

Здесь используются обозначения для корреляционных функций:

ρfd(τ)=f(t)d(t+τ)¯{\displaystyle \rho _{fd}(\tau )={\overline {f(t)\,d(t+\tau )}}}

ρff(τ)=f(t)f(t+τ)¯{\displaystyle \rho _{ff}(\tau )={\overline {f(t)\,f(t+\tau )}}}.

Черта над формулой означает осреднение по времени. Будем считать, что оптимальная импульсная характеристика системы существует и равна wopt{\displaystyle w_{\text{opt}}}.

Тогда любая отличающаяся от неё импульсная характеристика системы может быть представлена в виде

w(t)=wopt(t)+αθ(t){\displaystyle w(t)=w_{\text{opt}}(t)+\alpha \,\theta (t)},

где θ(t){\displaystyle \theta (t)} — произвольная функция времени, α{\displaystyle \alpha } — варьируемый коэффициент.

Минимум среднеквадратической ошибки отклонения достигается при α=0{\displaystyle \alpha =0}. Для поиска wopt(t){\displaystyle w_{\text{opt}}(t)} нужно найти производную показателя качества η{\displaystyle \eta } по коэффициенту вариации α{\displaystyle \alpha } и приравнять её нулю при α=0{\displaystyle \alpha =0}:

∂η∂α|α=0{\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial \alpha }}|_{\alpha =0}} =

−2∫−∞+∞θ(τ)ρfd(τ)dτ+∫−∞+∞∫−∞+∞[wopt(ξ)θ(μ)+wopt(μ)θ(ξ)]ρff(ξ−μ)dξdμ{\displaystyle -2\int _{-\infty }^{+\infty }\theta (\tau )\,\rho _{fd}(\tau )\,\mathrm {d} \tau +\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\left[w_{\text{opt}}(\xi )\,\theta (\mu )+w_{\text{opt}}(\mu )\,\theta (\xi )\right]\,\rho _{ff}(\xi -\mu )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} \mu } =

−2∫−∞+∞θ(ξ)ρfd(ξ)dξ+2∫−∞+∞∫−∞+∞θ(ξ)wopt(μ)ρff(ξ−μ)dξdμ{\displaystyle -2\int _{-\infty }^{+\infty }\theta (\xi )\rho _{fd}(\xi )\,\mathrm {d} \xi +2\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\theta (\xi )\,w_{\text{opt}}(\mu )\,\rho _{ff}(\xi -\mu )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} \mu } =

2∫−∞+∞θ(ξ)[∫−∞+∞wopt(μ)ρff(ξ−μ)dμ−ρfd(ξ)]dξ=0{\displaystyle 2\int _{-\infty }^{+\infty }\theta (\xi )\,\left[\int _{-\infty }^{+\infty }w_{\text{opt}}(\mu )\rho _{ff}(\xi -\mu )\mathrm {d} \mu -\rho _{fd}(\xi )\right]\,\mathrm {d} \xi =0}

Поскольку θ(ξ){\displaystyle \theta (\xi )} — произвольная функция, последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда:

∫−∞+∞wopt(μ)ρff(ξ−μ)dμ−ρfd(ξ)=0{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }w_{\text{opt}}(\mu )\,\rho _{ff}(\xi -\mu )\,\mathrm {d} \mu -\rho _{fd}(\xi )=0}.

Это и есть уравнение Винера-Хопфа, определяющее оптимальную импульсную характеристику системы по критерию минимальной среднеквадратической ошибки. Для решения применим преобразование Лапласа к полученному уравнению. Известно, что преобразование Лапласа от свертки равно произведению преобразований Лапласа, тогда:

wopt(p)Sff(p)−Sfd(p)=0{\displaystyle w_{\text{opt}}(p)S_{ff}(p)-S_{fd}(p)=0},

где wopt(p)=Lwopt(t){\displaystyle w_{\text{opt}}(p)=L{w_{\text{opt}}(t)}}; Sff(p)=Lρff(t){\displaystyle S_{ff}(p)=L{\rho _{ff}(t)}}; Sfd(p)=Lρfd(t){\displaystyle S_{fd}(p)=L{\rho _{fd}(t)}}.

Таким образом определяем оптимальный винеровский фильтр 1-го рода:

Wopt I=Sfd(p)Sff(p){\displaystyle W_{\text{opt I}}={\frac {S_{fd}(p)}{S_{ff}(p)}}}.

Когда порядок полинома в числителе оказывается выше порядка полинома в знаменателе, винеровский фильтр 1-го рода физически нереализуем. Для решения задачи, после определения импульсной характеристики её принудительно приравнивают нулю при отрицательных значениях t{\displaystyle t} (именно отличие w(t){\displaystyle w(t)} от нуля при t<0{\displaystyle t<0} характеризует физическую нереализуемость системы) и таким образом получают физически реализуемый винеровский фильтр 2-го рода.

История

Во время второй мировой войны перед американским математиком Н. Винером встала задача отделения полезного сигнала от шума при решении задач автоматизации систем противовоздушной обороны, использующих радиолокационную технику. В 1942 г. Н. Винер решил эту задачу, допустив что искомая система должна быть линейной с постоянными параметрами, время наблюдения бесконечно, входной и желаемый выходной сигналы системы являются стационарными и стационарно связанными случайными процессами, система минимизирует среднюю квадратическую ошибку между желаемым и реальным выходными сигналами.

См. также

Литература

  • Норберт Винер «Я-математик», М., «Наука», 1964, гл 12 «Годы войны. 1940—1945», с. 213—265;
  • Хургин Я. И. «Да, нет или может быть…», 2-е изд., М., «Наука», 1983, 208 с., илл., 32.81 Х98 УДК 62-50 ББК 32.81 6Ф0.1, тир. 100000 экз., гл. «Искусство надежды», с. 138—148;
  • Л. А. Вайнштейн, В. Д. Зубаков «Выделение сигналов на фоне случайных помех», М., «Советское радио», 1960, 447 с., гл. 1 «Основные понятия теории фильтрации случайных процессов», с. 7-54;
  • Дж. Бендат «Основы теории случайных шумов и её применения», М., «Наука», 1965, 464 стр. с илл., гл. 4 «Оптимальное линейное упреждение и фильтрация», с. 165—215;

wikiredia.ru

Фильтр - винер - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2

Фильтр - винер

Cтраница 2

В этом случае необходимо знать значительно меньше заранее заданной информации, чем в случае использования фильтров Винера и Калмана - Бьюси. Если при синтезе фильтров требуется достаточно полная информация о сигналах ( токах и напряжениях), то в последнем случае она не требуется, так как синтез устройства идентификации осуществляется на основе заданной информации о структуре модели объекта. В дальнейшем параметры модели подбираются автоматически, что в значительной степени повышает достоверность контроля.  [16]

Описывая все случайные процессы не с помощью корреляционных функций или спектральных плотностей, а с помощью дифференциальных уравнений ( уравнений состояния), Калман и Бьюси показали, что при случайных воздействиях оптимальная линейная система должна удовлетворять некоторой системе неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Последнее обстоятельство является существенным. Так, если синтез фильтра Винера осуществляется в частотной области и его структура определяется только после решения интегрального уравнения, что затрудняет практическую реализацию, то фильтр Калмана по указанным уравнениям находится легче.  [18]

Система уравнений (7.7) - (7.9) реализуется схемой, изображенной на рис. 7.5. Операторы Fj и d приняты с целью упрощения анализа единичными. Назначение блоков вытекает из обозначений, принятых на схеме. Дальнейшие исследования проведем применительно к моделям, выходные координаты которых аналогичны сигналам, рассматриваемым при синтезе фильтров Винера и Калмана, что дает возможность сравнить некоторые характеристики этих методов обработки сигналов и в зависимости от имеющейся информации об объекте защиты, материально-технической базы и требований отдать предпочтение в пользу тех или иных измерительных систем.  [20]

В данной главе обсуждаются вопросы применения подобных фильтров в системах управления. Если же спектры полезного сигнала и шума накладываются друг на друга, для выделения сигнала должны использоваться статистические методы оценивания. В этих условиях принципиально невозможно получить абсолютно точные значения сигналов и целью указанных методов является лишь минимизация воздействия помех. Первым фильтром такого типа стал предложенный в 1940 г. для непрерывных сигналов фильтр Винера, в основе которого лежал метод наименьших квадратов.  [22]

В данной главе обсуждаются вопросы применения подобных фильтров в системах управления. Если же спектры полезного сигнала и шума накладываются друг на друга, для выделения сигнала должны использоваться статистические методы оценивания. В этих условиях принципиально невозможно получить абсолютно точные значения сигналов и целью указанных методов является лишь минимизация воздействия помех. Первым фильтром такого типа стал предложенный в 1940 г. для непрерывных сигналов фильтр Винера, в основе которого лежал метод наименьших квадратов. Новым этапом в развитии теории фильтрации явился фильтр Калмана, первое сообщение о котором было опубликовано в 1960 г. Большое достоинство этого фильтра по сравнению с фильтром Винера состоит в том, что в нем применяется параметрическая модель сигнала. Первоначально фильтр Калмана был разработан для дискретных сигналов, описываемых моделями в пространстве состояний. Вывод фильтра Калмана обсуждался в разд.  [23]

Страницы:      1    2

www.ngpedia.ru

Фильтр Винера • ru.knowledgr.com

В обработке сигнала фильтр Винера - фильтр, используемый, чтобы произвести оценку желаемого или целевого вероятностного процесса линейной инвариантной временем фильтрацией наблюдаемого шумного процесса, принимая известный постоянный сигнал и шумовые спектры и совокупный шум. Фильтр Винера минимизирует среднеквадратическую ошибку между предполагаемым вероятностным процессом и желаемым процессом..

Описание

Цель фильтра Винера состоит в том, чтобы вычислить статистическую оценку неизвестного сигнала, используя связанный сигнал в качестве входа и фильтруя тот известный сигнал произвести оценку как продукцию. Например, известный сигнал мог бы состоять из неизвестного сигнала интереса, который был испорчен совокупным шумом. Фильтр Винера может использоваться, чтобы отфильтровать шум от испорченного сигнала обеспечить оценку основного сигнала интереса. Фильтр Винера основан на статистическом подходе, и более статистический отчет теории сделан в статье минимальной среднеквадратической ошибки (MMSE).

Типичные детерминированные фильтры разработаны для желаемой частотной характеристики. Однако дизайн фильтра Винера проявляет другой подход. У каждого, как предполагается, есть знание спектральных свойств оригинального сигнала и шума, и каждый ищет линейный инвариантный временем фильтр, продукция которого прибыла бы максимально близко к оригинальному сигналу. Фильтры Винера характеризуются следующим:

  1. Предположение: сигнал и (совокупный) шум - постоянные линейные вероятностные процессы с известными спектральными особенностями или известная автокорреляция и поперечная корреляция
  2. Требование: фильтр должен быть физически осуществимым/причинным (это требование может быть пропущено, приведя к непричинному решению)
,
  1. Исполнительный критерий: минимальная среднеквадратическая ошибка (MMSE)

Этот фильтр часто используется в процессе деконволюции; для этого применения посмотрите деконволюцию Винера.

Решения для фильтра Винера

У

проблемы с фильтром Винера есть решения для трех возможных случаев: тот, где непричинный фильтр приемлем (требование бесконечной суммы обоих прошлых и будущих данных), случай, где причинный фильтр желаем (использование бесконечной суммы прошлых данных), и случай конечного ответа импульса (FIR), где конечная сумма прошлых данных используется. Первый случай прост решить, но не подходит для заявлений в реальном времени. Главное выполнение Винера решало случай, где требование причинной связи в действительности, и в приложении книги Винера Левинсон дал решение для ЕЛИ.

Непричинное решение

:

Где спектры. При условии, что оптимально, тогда минимальное среднеквадратическое ошибочное уравнение уменьшает до

:

и решение - обратное двухстороннее лапласовское преобразование.

Причинное решение

:

где

  • состоит из причинной части (то есть, той части этой части, имеющей положительное решение времени под обратным лапласовским преобразованием)
  • причинный компонент (т.е., обратное лапласовское преобразование отличное от нуля только для)
,
  • антипричинный компонент (т.е., обратное лапласовское преобразование отличное от нуля только для

Эта общая формула сложная и заслуживает более подробного объяснения. Чтобы записать решение в конкретном случае, нужно выполнить эти шаги:

  1. Начните со спектра в рациональной форме и факторе его в причинные и антипричинные компоненты: где содержит все ноли и полюса в оставленной половине самолета (LHP) и содержит ноли и полюса в правильной половине самолета (RHP). Это называют факторизацией Винера-Гопфа.
  2. Разделитесь на и выпишите результат как расширение элементарной дроби.
  3. Выберите только те условия в этом расширении, имеющем полюса в LHP. Назовите эти условия.
  4. Разделитесь на. Результат - желаемая функция фильтра перемещения.

Конечный ответ импульса фильтр Винера для дискретного ряда

Причинный конечный ответ импульса (FIR) фильтр Винера, вместо того, чтобы использовать некоторую данную матрицу данных X и вектор продукции Y, находит оптимальные веса сигнала при помощи статистики сигналов входа и выхода. Это населяет входную матрицу X с оценками автокорреляции входного сигнала (T) и населяет вектор продукции Y с оценками поперечной корреляции между продукцией и входными сигналами (V).

Чтобы получить коэффициенты фильтра Винера, считайте сигнал w [n] питаемым фильтр Винера приказа N и с коэффициентами. Продукция фильтра обозначена x [n], который дан выражением

:

Остаточная ошибка обозначена e [n] и определена как e [n] = x [n] &minus; s [n] (см. соответствующую блок-схему). Фильтр Винера разработан, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку (критерии MMSE), который может быть заявлен кратко следующим образом:

:

где обозначает оператора ожидания. В общем случае коэффициенты могут быть сложными и могут быть получены для случая, где w [n] и s [n] сложны также. Со сложным сигналом матрица, которая будет решена, является матрицей Хермитиана Тёплица, а не симметричной матрицей Тёплица. Для простоты следующее рассматривает только случай, где все эти количества реальны. Среднеквадратическая ошибка (MSE) может быть переписана как:

:

\begin {множество} {rcl }\

E\{e^2[n] \} &=& E\{(x [n]-s [n]) ^2\}\\\

&=& E\{x^2[n] \} + E\{s^2[n] \} - 2E\{x [n] s [n] \}\\\

&=& E\{\\большой (\sum_ {i=0} ^N a_i w [n-i] \big) ^2\} + E\{s^2[n] \} - 2E\{\\sum_ {i=0} ^N a_i w [n-i] s [n] \}.

\end {выстраивают }\

Чтобы найти вектор, который минимизирует выражение выше, вычислите его производную относительно

:

\begin {множество} {rcl }\

\frac {\\неравнодушный} {\\частичный a_i} E\{e^2[n] \} &=& 2E\{\big (\sum_ {j=0} ^N a_j w [n-j] \big) w [n-i] \} - 2E\{s [n] w [n-i] \} \quad i=0, \, \ldots, \, N \\

&=& 2 \sum_ {j=0} ^N E\{w [n-j] w [n-i] \} a_j - 2E\{w [n-i] s [n] \}.

\end {выстраивают }\

Предполагая, что w [n] и s [n], каждый постоянный и совместно постоянный, последовательности и известный соответственно как автокорреляция w [n] и поперечная корреляция между w [n] и s [n] может быть определен следующим образом:

:

\begin {выравнивают }\

R_w[m] =& E\{w [n] w [n+m] \} \\

R_ {ws} [m] =& E\{w [n] s [n+m] \}.

\end {выравнивают }\

Производная MSE может поэтому быть переписана как (заметьте это)

,

:

Разрешение производной быть равным нулевым результатам в

:

который может быть переписан в матричной форме

:

&\\mathbf {T }\\mathbf = \mathbf {v }\\\

\Rightarrow

&\\начинаются {bmatrix }\

R_w [0] & R_w[1] & \cdots & R_w[N] \\

R_w[1] & R_w [0] & \cdots & R_w[N-1] \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

R_w[N] & R_w[N-1] & \cdots & R_w [0]

\end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\

a_0 \\a_1 \\\vdots \\a_N

\end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\

R_ {коротковолновый} [0] \\R_ {коротковолновый} [1] \\\vdots \\R_ {коротковолновый} [N]

\end {bmatrix }\

Эти уравнения известны как уравнения Винера-Гопфа. Матрица T появляющийся в уравнении является симметричной матрицей Тёплица. При подходящих условиях на эти матрицы, как известно, положительны определенный и поэтому неисключительное получение уникального решения определения содействующего вектора фильтра Винера. Кроме того, там существует эффективный алгоритм, чтобы решить такие уравнения Винера-Гопфа, известные как алгоритм Левинсона-Дербина, таким образом, явная инверсия не требуется.

Отношения к фильтру наименьших квадратов

Реализация причинного фильтра Винера много походит на решение оценки методом наименьших квадратов, кроме области обработки сигнала. Решение методом наименьших квадратов, для входной матрицы и вектора продукции является

:

Фильтр Винера ЕЛИ связан с наименьшим количеством фильтра средних квадратов, но уменьшение ошибочного критерия последнего не полагается на поперечные корреляции или автокорреляции. Его решение сходится к решению для фильтра Винера.

Заявления

У

фильтра Винера есть множество применений в обработке сигнала, обработке изображения, системах управления и цифровых коммуникациях. Эти заявления обычно попадают в одну из четырех главных категорий:

  • Системная идентификация
  • Шумоподавление
  • Обнаружение сигнала

Например, фильтр Винера может использоваться в обработке изображения, чтобы удалить шум из картины. Например, используя функцию Mathematica:

на первом изображении справа, производит фильтрованное изображение ниже его.

Это обычно привыкло к denoise звуковым сигналам, особенно речь, как препроцессор перед распознаванием речи.

История

Фильтр был предложен Норбертом Винером в течение 1940-х и издан в 1949. Дискретное время, эквивалентное из работы Винера, было получено независимо Андреем Кольмогоровым и издано в 1941. Следовательно теорию часто называют Винером-Колмогоровым, фильтрующим теорию. Фильтр Винера был первым статистически разработанным фильтром, который будет предложен и впоследствии дал начало многим другим включая известный фильтр Кальмана.

См. также

  • Норберт Винер
  • Фильтр Кальмана
  • Деконволюция Винера
  • Эберхард Гопф
  • Наименьшее количество средних квадратов фильтрует
  • Общие черты между Винером и LMS
  • Линейное предсказание
  • Обобщенный фильтр Винера
  • Томас Кэйлэт, Али Х. Сейед, и Бэбэк Хэссиби, линейная оценка, Prentice-зал, Нью-Джерси, 2000, ISBN 978-0-13-022464-4.
  • Винер Н: интерполяция, экстраполяция и сглаживание постоянного ряда времени, Отчет Услуг 19, Научно-исследовательская работа DIC-6037 MIT, февраль 1942
  • Кольмогоров А.Н: 'Постоянные последовательности в Гильбертовом пространстве', (На русском языке) Бык. Московский Унив 1941 vol.2 № 6 1-40. Английский перевод в Кэйлэте Т. (редактор). Линейная оценка методом наименьших квадратов Dowden, Hutchinson & Ross 1 977

Внешние ссылки

ru.knowledgr.com

Фильтр Винера | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Фильтр Винера называется также линейным оптимальным фильтром, поскольку меньшее значение среднеквадратической ошибки, чем в фильтре Винера, в любом линейном фильтре получить нельзя

На вход фильтр поступают два сигнала: x[k] и d[k]. При этом d[k] содержит две составляющие – полезный сигнал s[k], который не коррелирован с x[k] и шумовую составляющую n[k], коррелированную с x[k]. Фильтр Винера должен иметь такую частотную характеристику, которая обеспечивает на выходе оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку y[k] коррелированной части сигнала (шума) n[k]. Эта оценка вычитается из d[k] и выход (ошибка) фильтра e[k] – это наилучшая по среднеквадратическому критерию оценка полезного сигнала. Таким образом, фильтр Винера обеспечивает оптимальную оценку полезного сигнала, смешанного с аддитивным шумом, по … критерию минимума среднеквадратической ошибки.

Предполагается, что фильтр является КИХ-фильтром с L-го порядка (с L коэффициентами). При этом его выход вычисляется как:

где вектор коэффициентов фильтра;

— вектор входного сигнала

Для оптимальной фильтрации необходимо найти оптимальный вектор коэффициентов W*. Для этого необходимо найти функцию среднеквадратической ошибки, взять ее производную и приравнять к нулю:

;

;

;

— функция СКО

Чтобы удобнее представить функцию СКО, необходимо ввести следующие обозначения:

Эта матрица называется корреляционной матрицей входного сигнала. Элементы, расположенные на главной диагонали, равны среднеквадратическим значениям входных компонентов, а остальные элементы – значениям автокорреляционной функции входных компонентов.

Этот вектор представляет собой множество значений взаимной корреляционной функции полезного отклика и отсчетов входного сигнала.

Теперь можно записать:

Теперь, если взять производную от этой функции по W и приравнять ее к нулю, получим:

Это равенство называется уравнением Винера-Хопфа. Оно определяет вектор коэффициентов фильтра, обеспечивающий минимальное значение среднеквадратической ошибки оценки полезного сигнала в присутствии шума.

Несмотря на то, что этот фильтр является оптимальным, применение его на практике не слишком целесообразно ввиду очень большой вычислительной сложности. Количество операций типа «сложение-умножение» на итерацию у этого фильтра пропорционально третьей степени порядка фильтра. На практике обычно используют различные итеративные процедуры, сходящиеся к оптимальному фильтру.

 

 

refac.ru